机械化因式分解 V4.6.8a

工作学习 / IT技术讨论 / 小孩的一道题难住我了，请大家帮忙。要具体过程，谢谢！把分式(x^3-7x^2+4x+12) / (x^3-4x^2-11x-6) 化为最简分式 -jameschen(我怕你了，还不可以吗); 2003-3-3 (#1072683@0)

如果没错的话，应该是：(x+1)(x-2)(x-6)/[(x+1)(x+1)(x-6)]=(x-2)/(x+1)。一般的办法是因式分解。 -jdge(鱼); 2003-3-3 (#1072694@0)

right -diao_david(大卫。刁); 2003-3-3 (#1072698@0)

对初等数学有兴趣吗？是否有相关的网站推荐？ -jdge(鱼); 2003-3-3 (#1072712@0)

代数很枯燥，几何有些意思 -d2o(广阔天地：资格的原版); 2003-3-3 (#1072722@0)

我对两者都有兴趣，当时上中学时把精编上所有的题都做了。还借到过一本“怎样解数学题”的书，苏联人编的，那些解题技巧，真是叹为观止。 -jdge(鱼); 2003-3-3 (#1072727@0)

偶在多伦多认识一个俄罗斯的数学副博士。这个哥们上学的时候，导师只带6-7个学生。通常给他们布置一道题，做两个月做不出来。去问老师，老师说：“做不出来就算了，偶也不会”:-D -diao_david(大卫。刁); 2003-3-3 {100} (#1072740@0)
俺们大学时候高数的习题集都是他们那个学院编的。可惜我贪玩，这些题做过就忘了，更不用说那个学院的名字。

PhD也有副的？ -tytang(TY - 种苹果树); 2003-3-3 (#1072748@0)

master -d2o(广阔天地：资格的原版); 2003-3-3 (#1072753@0)

:o -tytang(TY - 种苹果树); 2003-3-3 (#1072756@0)

苏联是有副博士这个学位的 / 东欧的数学水平很高 -hzgxy(知我者谓我心忧); 2003-3-3 (#1072768@0)

谢谢，长见识了。 -tytang(TY - 种苹果树); 2003-3-3 (#1072778@0)

呵呵，找个牛人的故事给大家看看，也不知道真假 / 普林斯顿数学系主任查尔斯·费佛曼 -hzgxy(知我者谓我心忧); 2003-3-3 (#1072790@0)

早期的苏联副博士比现在西方的博士牛多了。当时留苏回来的人最多就是个副博士。（有人投机，将副字省了。）记忆中只有清华的高景德是博士，不知道对不对。 -jdge(鱼); 2003-3-3 (#1072770@0)

是清华只有一个、还是只有清华一个；应该不止一位吧？ -d2o(广阔天地：资格的原版); 2003-3-3 (#1072783@0)

印象中就这一个，他当过清华的校长。 -jdge(鱼); 2003-3-3 (#1072787@0)

基米多维奇？ -d2o(广阔天地：资格的原版); 2003-3-3 (#1072761@0)

如果你对几何有兴趣，看看这个题。一个平面最多可以把空间分成两个部分，两个平面最多可以将空间分成4个部分，三个空间最多可以将空间分成8个部分（当然是最多，否则可以分成4个部分等）。那么n个平面最多可以将空间分成几个部分? -jdge(鱼); 2003-3-3 (#1072737@0)

2^n ? -heian(黑暗㊣桃木剑劈妖降魔); 2003-3-3 (#1072741@0)

错了:( -heian(黑暗㊣桃木剑劈妖降魔); 2003-3-3 (#1072746@0)
黑暗，太水了吧?这个问题都搞不掂。KIDDING. -jdge(鱼); 2003-3-3 (#1072749@0)

学离散数学的时候做过。可惜俺对数学这门课天生抗拒，最佩服就是数学好的。。。小学的时候数学课也挺好，还是兴趣小组的，到中学就不行了。。。 -heian(黑暗㊣桃木剑劈妖降魔); 2003-3-3 {36} (#1072764@0)
后来才知道自己喜欢的是算术，不是数学

这个不算纯几何的题吧，俺说了代数很枯燥的 -d2o(广阔天地：资格的原版); 2003-3-3 (#1072744@0)

平面，空间什么的，实在不能算代数吧？最对算个立体几何。不要说你的几何不含立体部分啊？ -jdge(鱼); 2003-3-3 (#1072758@0)

这题有些意思，是你想出来的？好像空间数是一次增加1倍，1次增加50 -d2o(广阔天地：资格的原版); 2003-3-3 (#1072891@0)

没有看懂你的意思。 -jdge(鱼); 2003-3-3 (#1072902@0)
算了，我把这个题目放到外面，看谁有能自己想出答案。 -jdge(鱼); 2003-3-3 (#1072905@0)

因式分解怎么分的啊？是凑出来的还是用代数恒等法/带数字进去？ -hzgxy(知我者谓我心忧); 2003-3-3 (#1072710@0)

初中代数第八章“因式分解”释疑(Z) -tytang(TY - 种苹果树); 2003-3-3 {3915} (#1072719@0)
本文发表在 rolia.net 枫下论坛初中代数第八章“因式分解”释疑

(2002-11-18 13:03:07)

◆ 什么是数学方法？它的作用是什么？

数学方法是以数学为工具进行科学研究的方法。数学方法中都包含着数学思想，例如符号与变元的思想、集合思想、对应思想、公理化与结构思想、数形结合的思想、已知与未知互相转化的思想、特殊与一般互相转化的思想等。目前我们所说的数学方法，还仅仅限于在学习数学时用来解题的一些方法。

我国古人指出：“授人以鱼，不如授之以渔。”这就是说，送给他人好多好多鱼，不如教给他捕鱼的方法。这就指出了学习方法的重要性。

数学方法是属于数学知识范围内的。我们已学习过许多具体的数学方法，例如有理数或整式的加法、减法、乘法、除法以及解二元一次方程组的代入（消元）法、解一元一次不等式（组）的数轴方法等。有些数学方法还可以表示成明确的规则，我们就把这样的规则叫做法则，例如去括号、添括号的法则，多项式的乘法法则等，有些数学方法不能表示成明确的规则，我们要用心去体会它们。

在“因式分解”这一章中，我们又要接触许多数学方法，这是学习这一章知识的重点。只要我们学会了这些方法，就能运用它们去解决成千止万分解多项式的因式的问题。

◆ 这一章主要介绍了哪些数学方法？

主要介绍了以下四种：

1. 提公因式法。这是分解因式最基本的，也是首先要考虑使用的方法。

2. 运用公式法，这是指学会运用平方差公式、完全平方公式及立方和（差）公式来分解因式。学有余力的同学还可以学习运用完全立方公式 a3±3a2b±3ab2±b3 = (a±b)3

3. 分组分解法。

4. 十字相乘法。对于可化为 x2+(a+b)x+ab 型的二次三项式，一般也可用十字相乘法来进行分解。十字相乘法还可用来分解二次项系数不等于1的二次三项式和二次齐次式。

◆ 除了上面这些方法，还有没有其他的分解因式的数学方法？

有的，至少还有三种：

1. 拆项添项法，我们通过做教科书第32页上的B组第2，3，4题，可以接触到这种方法。第4题还告诉我们，添0含有“添加辅助元素”的思想，拆0含有“一分为二”的思想，这是两个重要的数学思想。

2. 配方法。我们通过学习教科书第43-44页上的“读一读”，可以了解这种方法。这种方法十分重要，我们在后续内容的学习中要经常用到。

3. 换元法。举例来说，要把 (x2+3x-2)(x2+3x+4)-16 分解因式，由于原式较复杂，所以我们把 x2+3x 换成新的变元 y，这就使问题变得简单了，教科书第42页上的“想一想”，介绍了这种方法。这种方法也含有“添加辅助元素”的思想。

使用以上三种方法，目的都是为了“从未知到已知”。如果有条件学习它们，应在学习、使用时仔细体会其中包含的数学思想。

◆ 分解因式能不能尝试待定系数法？

能。例如把二次三项式 x2+x-6 分解因式，我们知道，如果它能分解的话，应该分解成两个一次二项式的积 (x+b1)(x+b2) 把它展开，得 x2+(b1+b2)+b1b2 把它与原式x2+x-6比较，得b1+b2=1，b1b2=-6经过分析，可以知道（不一定要画十字）b1=-2，b2=3 或 b1=3，b2=-2。

∴ x2+x-6=(x-2)(x+3) 在以上解答过程中，b1，b2就是待定系数（请参看本书第17页第30问）。

◆ 分解因式时，要不要考虑一题多解？

要。一题多解是我们学习数学时，巩固基础知识和基本技能，培养数学能力的一种重要手段。举例来说，把a2+2ax+a2分解因式，至少可考虑运用以下四种方法：

1. 运用公式法。原式=(a + x)2

2. 十字相乘法，把原式看成关于字母x的二次三项式。

3. 拆项补项法。拆开2ax再分组分解，
即原式=x2+ax+ax+a2=(x2+ax)+(xa+a2)=x(x+a)+a(x+a)=(x+a)(x+a)=(x+a)2

4. 待定系数法。设原式=(x+b1)(x+b2)，把这个积展开，得x2+(b1+b2)x+b1b2，把它与原式x2+2ax+a2比较，得b1+b2=2a,b1b2=a2经过分析，可以知道b1=b2=a

∴原式=(x+a)(x+a)=(x+a)2

◆ 关于因式分解的结果，在表述上有什么要求？

主要是两条：

1. 分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。

2. 相同的、不能再分解的多项式因式的积，要写成幂的形式。

3. 至于数字系数，不要求进行因数分解。高等代数可以证明，在这样的规定下，在同样的数的范围内，因式分解的结果是唯一的。

◆ 因式分解有哪些应用？

在初中，我们可以接触到以下几类应用：

1. 计算。例如教科书第25页上的B组第1题，利用因式分解计算7582-2582或4292-1712，比较简捷；

2. 与几何有关的应用题。例如教科书第25页上的B组第2，3题和第53页上的B组第6，7题；

3. 代数推理的需要。例如教科书第52页上的B组第4，5题和第九章中关于分式的化简及运算。

因式分解是学好代数的基本功之一，同学们一定要予以重视。更多精彩文章及讨论，请光临枫下论坛 rolia.net

谢谢，大致的过程还记得/象chouchou那样的是靠试出来的(当然要做题多)，对不对 -hzgxy(知我者谓我心忧); 2003-3-3 (#1072728@0)

熟能生巧，勤能补拙。 -tytang(TY - 种苹果树); 2003-3-3 (#1072729@0)
那个叫拆分法。 -tytang(TY - 种苹果树); 2003-3-3 (#1072742@0)

(X-6)(X+1)(X-2)/(X-6)(X+1)(X+1) = X-2 / X+1 -babyface(★ 一脑子稻草 ★); 2003-3-3 (#1072703@0)

Take (x-6) out firstly. -babyface(★ 一脑子稻草 ★); 2003-3-3 (#1072706@0)

Answer is: -chouchou(puppy); 2003-3-3 {178} (#1072709@0)
(x-2)/(x+1)
Procedure:
x^3-7x^2+4x+12=x^3-3x^2-4x-4x^2+8x+12=x(x-4)(x+1)-4(x-3)(x+1)
=(x+1)(x-2)(x-6)
X^3-4x^2-11x-6=x^3+x^2-5x^2-11x-6=x^2(x+1)-(x+1)(5x+6)
=(x+1)(x+1)(x-6)

非常谢谢你。你把过程都写出来了，便于我这种人理解。 -jameschen(我怕你了，还不可以吗); 2003-3-3 (#1072794@0)

机械化因式分解 V4.6.8a -tytang(TY - 种苹果树); 2003-3-3 {152} (#1072735@0)
软件简介：
本软件是有理数域上一元和多元多项式的因式分解软件。用户将一个有理系数多项式输入后，便可求得分解结果。被分解出的各因式亦为有理系数多项式。
http://www.soft163.com/soft/3848.shtml
大家都是好样儿的。大家都来作算数。。嘿嘿。 -babyface(★ 一脑子稻草 ★); 2003-3-3 (#1072755@0)
谢谢各位！以下排名不分先后：(鱼)、(大卫。刁)、(广阔天地：资格的原版)、(TY - 种苹果树)、(知我者谓我心忧)、(黑暗㊣桃木剑劈妖降魔)、(★ 一脑子稻草 ★)、chouchou(puppy)。。。但chouchou(puppy)给出了过程， -jameschen(我怕你了，还不可以吗); 2003-3-3 {64} (#1072825@0)
其他各位是用什么方法的呢？各位的答案是正确的。再次谢谢各位！！！
代入法 -goodbaby(小宝); 2003-3-3 {369} (#1072830@0)
如果该式可分解,则分子分母可表达为
(x+a)(x+b)(x+c)
即 x=-a,-b,-c时分子分母可以同时为零(-a,-b,-c是分子或分母的根)
把分母零次项6分解,可知可能的解是+-1,+-2,+-3,,+-6.
把分子零次项12分解,可知可能的解是+-1,+-2,+-3,+-4,+-6,+-12.

把可能共有的解代入,可以得出分子分母共有的解,约去相同部分,剩下的就是最简式.

当题目比较复杂,拆分法不容易一下子看出来的时候,可以试试这个办法.
除了小宝说的办法，我只想到硬凑的方法，他们应该有更好的解法 -hzgxy(知我者谓我心忧); 2003-3-3 {176} (#1072851@0)
x^3-7x^2+4x+12 = x^3-7x^2+6x-2x+12=...

我觉得做多了，可以看出有x-6这个因式可以提出

x^3-4x^2-11x-6 = x^3-4x^2-12x+(x-6)=...

不知道那几位怎么解的，答案给得那么快，很佩服

如果能因式分解，也就是方程有解。首先要找出一个简单解，一般这个解不是正负1，就是正负2，3什么的。这道题分子分母都是－1。有了这个解，分子可以写成：（x+1）（x^2+ax+12），与原分子恒等，解a即可。 -jdge(鱼); 2003-3-3 (#1072854@0)

谢谢你，我搞清楚了。想不到因式分解在你们手里变得如此简单。佩服！以后还要多请教。 -jameschen(我怕你了，还不可以吗); 2003-3-3 (#1072872@0)

可能没有说得太清楚，所谓有解，就是将一个数字带入，如果结果为零，那这个数就是解。如将－1带入分子，结果为零，则－1是解。 -jdge(鱼); 2003-3-3 (#1072857@0)

@Calgary

机械化因式分解 V4.6.8a

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