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给出答案:求证个位数相当于(a*10+k)^5= b*10+k,

根据多项式定理拆解可得 SUM 5Ci a10^(5-i)k^i, C是组合,显然可见只有在5C5 a10^0k^5的时候才是个位数为5. 所以本质的证明是(a*10+k)^5 =k mod 10可以等价于证明 k^5=k mod 10. 如何证明呢?可以用中国剩余定理Z/2 x Z5 = Z/10,因为如果能证明k^5=kmod 5, k^5= k mod 2,那么显然k^5=k mod (2*5)是成立的. 显然, k^5=k mod 5 是费马小定理可证,而k^5=k mod 2可以直接用奇偶判断也可以成立,那么显然k^5=k mod 10成立。 证明2则简单的多,只需要用欧拉计数公式可得。欧拉计数公式: k^ phi(10) = 1 mod 10, 其中phi(10)是欧拉计数公式,那我们来解一下计数公式:在1到9中,只有1,3,7,9是和10互质的,那么显然phi(10)=4,所以 k^4= 1 mod 10, 根据模乘法, k^4 * k = 1* k mod 10 ---> k^5 = k mod 10,证明完毕。

高中生的证明方法: k^5 可以拆解成(a+b)^5, 则根据多项式拆解公式: SUM 5Ci a^(5-i)bi, 则显然在i不是0或5的时候,SUM总和会是10的倍数,因为显然5C2,5C3都是10不用讨论,而5C1,5C4时候是5,则讨论a^4b, ab^4,显然如果我们拆解a,b选择尽量保证一个单偶数则,必然依然会变成10的倍数,(双奇讨论同样)则显然,最后只会出现个位数是5C0 a+ 5c5 b ,显然等于a+b, 等于k,也就是说个位数依然是k,证明完毕。

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Replies, comments and Discussions:

  • 工作学习 / 学科技术 / 好久没有什么技术贴了,我来抛个砖,工作上遇到的,如何证明任意数的5次方其个位数仍是原来的那个个位数?比如23^5=6436343 , 3还在个位。可以给自己的孩子玩玩锻炼一下思维。这题初等高中数学也能证明,用高级的代数数论也能证明。 +1
    • 小学方法证明:任何数的十位以上数字求5次方后都对个位没影响,所以这个题只要列举1-9的5次方后个位数都是自己就能证明任意数了。 +3
      • 这个方法太笨了,即使高中生也不能这么解啊!
        • ok, 等你的算法。 +1
          • 出题考考大家,答案过2天公布,:P
            • 费马小定理 +1
              • 不错不错!!中国剩余定理+费马小定理。当然还有一个更简单的证明用欧拉-toitient公式即可。
      • 对我这样的笨人来说,这个方法最简单。穷举法 +2
        • 2,4,6,8四次方尾数都是6; 1,3, 7,9四次方尾数都是1; 这些数字五次方都是自己 0, 5五次方也是自己. 方法还是越简单越好 +2
          • 这个好理解
          • 为啥要算到四次方停下来?是为了应用费马小定理吗?我对数论没有研究。直接算0-9的五次方不就得了?而且计算高次幂的时候,只需要计算个位尾数就可以,不复杂呀。这可能是最简单的方法了,简单就是美
            • 算到4次方,这几个数尾数比较统一,分类看更简洁些而已。啥都不用
        • 这个方法最简洁👍
    • 给出答案:求证个位数相当于(a*10+k)^5= b*10+k, +1

      根据多项式定理拆解可得 SUM 5Ci a10^(5-i)k^i, C是组合,显然可见只有在5C5 a10^0k^5的时候才是个位数为5. 所以本质的证明是(a*10+k)^5 =k mod 10可以等价于证明 k^5=k mod 10. 如何证明呢?可以用中国剩余定理Z/2 x Z5 = Z/10,因为如果能证明k^5=kmod 5, k^5= k mod 2,那么显然k^5=k mod (2*5)是成立的. 显然, k^5=k mod 5 是费马小定理可证,而k^5=k mod 2可以直接用奇偶判断也可以成立,那么显然k^5=k mod 10成立。 证明2则简单的多,只需要用欧拉计数公式可得。欧拉计数公式: k^ phi(10) = 1 mod 10, 其中phi(10)是欧拉计数公式,那我们来解一下计数公式:在1到9中,只有1,3,7,9是和10互质的,那么显然phi(10)=4,所以 k^4= 1 mod 10, 根据模乘法, k^4 * k = 1* k mod 10 ---> k^5 = k mod 10,证明完毕。

      高中生的证明方法: k^5 可以拆解成(a+b)^5, 则根据多项式拆解公式: SUM 5Ci a^(5-i)bi, 则显然在i不是0或5的时候,SUM总和会是10的倍数,因为显然5C2,5C3都是10不用讨论,而5C1,5C4时候是5,则讨论a^4b, ab^4,显然如果我们拆解a,b选择尽量保证一个单偶数则,必然依然会变成10的倍数,(双奇讨论同样)则显然,最后只会出现个位数是5C0 a+ 5c5 b ,显然等于a+b, 等于k,也就是说个位数依然是k,证明完毕。

      • 明明一道初级中学代数题,让你整的水土不服上吐下泻的。我们当年教授级中学数学老师只会给个1分安慰分然后送一个【烦】或者【繁】字。 +1

        1^5=1..........................................................................................................................(1)

        如果x^5有x的个位数,那么

        用Pascal三角(或者叫杨辉三角)或者硬性展开,

        (x+1)^5 = x^5 + 5x^4 +10x^3+10x^2+5x+1 = (10x^3+10x^2)+(5x^4+5x)+(x^5+1)

        上面第一个括号里是10的倍数不影响个位数,第二个括号内无论x是单双数都是10的倍数,第三个括号里x^5的个位数是x,所以原式(x+1)^5的个位数就是x+1 .............................(2)

        根据上面的(1)和(2)递归推出,任何数的5次方的个位数就是其个位数。

        • 3分,略烦
          • 这题就值3分
        • 这个方法不错,通俗易懂。赞👍
        • 你这个不就是我的“高中生证明方法”么?只是我用了(a+b),而你用了(x+1),真不明白你没好好看我的答案吧?我的多项式分解用的是xCy的组合表达方式表示系数。
          • 首先,有没有初始值决定根本思路的差别,递归思路简洁大路有气质,其次x+1多项式杨辉分解初一就能背,不用排列组合参合。所以我说这就是简单的初中生题目。我没说你的解法不对,就是一个繁琐